2021年全国统一高考数学试卷(文科)(甲卷)

一、选择题:本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的。 1.设集合 M {1 ,3,5,7, 9} , N {x 2x 7},则 M N ( )

2.为了解某地农村经济情况,对该地农户家庭年收入进行抽样调查,将农户家庭年收入的

D.估计该地有一半以上的农户,其家庭年收入介于 4.5 万元至 8.5 万元之间

6.青少年视力是社会普遍关注的问题,视力情况可借助视力表测量.通常用五分记录法和

小数记录法记录视力数据,五分记录法的数据 L 和小数记录法的数据V 满足 L 5 lgV .已

7.在一个正方体中,过顶点 A 的三条棱的中点分别为 E , F , G .该正方体截去三棱锥

A EFG 后,所得多面体的三视图中,正视图如图所示,则相应的侧视图是 ( )

14.已知一个圆锥的底面半径为 6,其体积为 30 ,则该圆锥的侧面积为 .

三、解答题:共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17~21 题为必考

题,每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题,考生根据要求作答。(一)必考题:

17.(12 分)甲、乙两台机床生产同种产品,产品按质量分为一级品和二级品,为了比较

两台机床产品的质量,分别用两台机床各生产了 200 件产品,产品的质量情况统计如下表:

(2)能否有 99% 的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异?

20.(12 分)设函数 f (x) a2x2 ax 3lnx 1 ,其中 a 0 . (1)讨论 f (x) 的单调性; (2)若 y f (x) 的图像与 x 轴没有公共点,求 a 的取值范围. 21.(12 分)抛物线 C 的顶点为坐标原点 O ,焦点在 x 轴上,直线 交 C 于 P , Q 两 点,且 OP OQ .已知点 M (2, 0) ,且 M 与 l 相切. (1)求 C , M 的方程; (2)设 A1 ,A2 ,A3 是 C 上的三个点,直线 均与 M 相切.判断直线 与 M 的位置关系,并说明理由. (二)选考题:共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做,则按所做的 第一题计分。[选修 4-4:坐标系与参数方程](10 分) 22.(10 分)在直角坐标系 xOy 中,以坐标原点为极点, x 轴正半轴为极轴建立极坐标系, 曲线 C 的极坐标方程为 2 2 cos . (1)将 C 的极坐标方程化为直角坐标方程; (2)设点 A 的直角坐标为 (1,0) , M 为 C 上的动点,点 P 满足 AP 2 AM ,写出 P 的轨 迹 C1 的参数方程,并判断 C 与 C1 是否有公共点. [选修 4-5:不等式选讲](10 分)

一、选择题:本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只有

2.为了解某地农村经济情况,对该地农户家庭年收入进行抽样调查,将农户家庭年收入的

根据此频率分布直方图,下面结论中不正确的是 ( ) A.该地农户家庭年收入低于 4.5 万元的农户比率估计为 6% B.该地农户家庭年收入不低于 10.5 万元的农户比率估计为10% C.估计该地农户家庭年收入的平均值不超过 6.5 万元 D.估计该地有一半以上的农户,其家庭年收入介于 4.5 万元至 8.5 万元之间

【思路分析】利用频率分布直方图中频率的求解方法,通过求解频率即可判断选项 A , B , D ,利用平均值的计算方法,即可判断选项 C . 【 解 析 】: 对 于 A , 该 地 农 户 家 庭 年 收 入 低 于 4.5 万 元 的 农 户 比 率 为 (0.02 0.04) 1 0.06 6% ,故选项 A 正确; 对于 B ,该地农户家庭年收入不低于 10.5 万元的农户比率为 (0.04 0.02 3) 1 0.1 10% , 故选项 B 正确; 对于 C ,估计该地农户家庭年收入的平均值为

故估计该地有一半以上的农户,其家庭年收入介于 4.5 万元至 8.5 万元之间,故选项 D 正确.

【归纳总结】本题考查了频率分布直方图的应用,解题的关键是掌握频率分布直方图中频率

【归纳总结】本题考查了复数的运算,主要考查了复数的乘法运算法则以及除法的运算法则

【解析】:由一次函数性质可知 f (x) x 在 R 上是减函数,不符合题意;

由指数函数性质可知 f (x) (2)x 在 R 上是减函数,不符合题意; 3

【归纳总结】本题主要考查双曲线的渐近线方程,点到直线距离公式等知识,属于基础题.

6.青少年视力是社会普遍关注的问题,视力情况可借助视力表测量.通常用五分记录法和

小数记录法记录视力数据,五分记录法的数据 L 和小数记录法的数据V 满足 L 5 lgV .已

【归纳总结】本题考查了对数与指数的互化问题,也考查了运算求解能力,是基础题.

7.在一个正方体中,过顶点 A 的三条棱的中点分别为 E , F , G .该正方体截去三棱锥

A EFG 后,所得多面体的三视图中,正视图如图所示,则相应的侧视图是 ( )

【思路分析】作出正方体,截去三棱锥 A EFG ,根据正视图,摆放好正方体,即可求解侧

【思路分析】设角 A , B ,C 所对的边分别为 a ,b ,c ,利用余弦定理得到关于 a 的方程,

【解析】:设角 A , B , C 所对的边分别为 a , b , c ,

【归纳总结】本题考查了等比数列的性质,考查方程思想和运算求解能力,是基础题.

【思路分析】首先求得 3 个 1 和 2 个 0 随机排成一行的数量和 2 个 0 不相邻的数量,然后

【归纳总结】本题主要考查古典概型计算公式,排列组合公式在古典概型计算中的应用,属

【思路分析】把等式左边化切为弦,再展开倍角公式,求解 sin ,进一步求得 cos ,再由

【归纳总结】本题考查三角函数的恒等变换与化简求值,考查倍角公式的应用,是基础题.

解法二:(范世祥补解):由 f (1 x) f (x) 知函数 f (x) 的图象关于直线

【归纳总结】本题主要考查了利用函数的奇偶性求解函数值,解题的关键是进行合理的转化,

【归纳总结】本题考查了平面向量数量积的性质及其运算和向量的模,属于基础题.

14.已知一个圆锥的底面半径为 6,其体积为 30 ,则该圆锥的侧面积为 39 .

【思路分析】由题意,设圆锥的高为 h ,根据圆锥的底面半径为 6,其体积为 30 求出 h ,

【归纳总结】本题考查了圆锥的侧面积公式和圆锥的体积公式,考查了方程思想,属于基础

【思路分析】根据图象可得 f (x) 的最小正周期,从而求得 ,然后利用五点作图法可求得 ,

【归纳总结】本题主要考查由 y Acos(x ) 的部分图象确定其解析式,考查数形结合思

【思路分析】判断四边形 PF1QF2 为矩形,利用椭圆的定义及勾股定理求解即可.

【解析】:解法一:因为 P , Q 为 C 上关于坐标原点对称的两点,且 PQ F1F2 ,

【归纳总结】本题主要考查椭圆的性质,椭圆的定义,考查方程思想与运算求解能力,属于

三、解答题:共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17~21 题为必考

题,每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题,考生根据要求作答。(一)必考题:

共 60 分。 17.(12 分)甲、乙两台机床生产同种产品,产品按质量分为一级品和二级品,为了比较 两台机床产品的质量,分别用两台机床各生产了 200 件产品,产品的质量情况统计如下表:

(2)能否有 99% 的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异?

【思路分析】(1)根据表格中统计可知甲机床、乙机床生产总数和频数,再求出频率值即

(2)根据 22 列联表,求出 K 2 ,再将 K 2 的值与 6.635 比较,即可得出结论;

因为甲的一级品的频数为 150,所以甲的一级品的频率为 150 3 ; 200 4

因为乙的一级品的频数为 120,所以乙的一级品的频率为 120 3 ; 200 5

【思路分析】(1)先证明 AB 平面 BCC1B1 ,即可得到 AB AC ,再根据直角三角形的性 质可知 CE 2 BE ,最后根据三棱锥的体积公式计算即可;

【归纳总结】本题主要考查三棱锥体积的求法以及线线,线面间的垂直关系,考查运算求解

e 【归纳总结】本题考查导数的综合应用,解题中需要理清思路,属于中档题.

21.(12 分)抛物线 C 的顶点为坐标原点 O ,焦点在 x 轴上,直线 交 C 于 P , Q 两

(2)设 A1 ,A2 ,A3 是 C 上的三个点,直线 均与 M 相切.判断直线 与 M 的位置关系,并说明理由.

【思路分析】(1)由题意结合直线垂直得到关于 p 的方程,解方程即可确定抛物线方程,

(2)分类讨论三个点的横坐标是否相等,当有两个点横坐标相等时明显相切,否则,求得

直线方程,利用直线与圆相切的充分必要条件和题目中的对称性可证得直线与圆相切.

【 解 析 】:(1 ) 因为 x 1 与 抛 物 线 有 两个 不 同的 交点 , 故 可 设抛 物 线 C 的 方程 为 :

【归纳总结】本题主要考查抛物线方程的求解,圆的方程的求解,分类讨论的数学思想,直

(二)选考题:共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做,则按所做的

22.(10 分)在直角坐标系 xOy 中,以坐标原点为极点, x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,

迹 C1 的参数方程,并判断 C 与 C1 是否有公共点. 【思路分析】(1)把极坐标方程化为 2 2 2 cos ,写出直角坐标方程即可;

(2)设点 P 的直角坐标为 (x, y) ,M (x1 , y1) ,利用 AP 2 AM 求出点 M 的坐标,代入 C 的方程化简得出点 P 的轨迹方程,再化为参数方程,计算 CC1 的值即可判断 C 与 C1 是否有 公共点.

【归纳总结】本题考查了参数方程与极坐标的应用问题,也考查了转化思想与运算求解能力,

【思路分析】(1)通过对 x 分类讨论,写出分段函数的形式,画出图像即可得出.

左或向右平移 a 单位以后, f (x) 的图像不在 g(x) 的下方,由图像观察可得出结论.

【归纳总结】本题考查了分段函数的图像与性质、方程与不等式的解法,考查了推理能力与 计算能力,属于中档题.

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