选析2021年浙江高考数学中有意思的题目

浙江高考数学试卷的整体质量还是很高的,难度也高于新高考1卷,如果浙江省也使用新高考1卷,估计浙江的学子能乐醒,此次就不全盘分析了,选取几道有思考价值的题目做一次分享。

很明显能看出两直线异面且不平行,排除B,C,线段MN在底面ABCD上的投影为GH,在平行四边形中证明线面平行即可,在正方体中与BDD1B1垂直的直线为AC,AC和MN显然不平行,故MN不可能与平面BDD1B1垂直。

根据两函数和目标函数的奇偶性对比,可排除A,B,从图像可知,当x趋近于正无穷时,y趋近于0,g(x)为有界函数,当x趋近于正无穷时f(x)趋近于正无穷,所以y=g(x)/f(x)满足要求,浙江学生对极限应该很熟悉了,至于C选项的排除,可用导函数在π/4时的正负来判定。

这是一个很有意思的题目,如果能注意到给出的三个值中α,β,γ的正余弦正好全部出现,那么利用常用不等式可证得不可能同时取到大于二分之一的情况,其实题目能大致推断出,以sinαcosβ为例,当两个角度均为45°时乘积刚好为二分之一,所以α越接近直角,正弦越大,β越接近0°,余弦越大,确定出两角大致的范围即可判断出三个值中肯定有一个不符合逻辑。

四个选项中均为直线,这点有点无语,如果题目设置为多选题或选项题会更好,因为ab0,二次函数恒正或恒负,所以当等比数列为非零常数列时t=0,这里就能推断出轨迹的一种情况是直线,题目中判断(s,t)的轨迹,即找到一个关于s,t的方程,此时与a,b无关,最好将a,b设为1,带入三个函数求轨迹即可,难度不大。

以上解法仅供参考,还有其他简单的解法,根式数列通项的求法,在之前有过一期推送,链接为一类根式型数列通项公式的求法,常用的方法为换元或配方,但本题目无论采用何种方法均不能把an的通项求出来,因此题目应该是考查数列的放缩,将一个非常规数列放缩成常规数列,利用放缩可得到一个包含an的数列累加法的不等式,求出an的类通项公式(不等关系),再将原等式中分母中的根式去掉后可得到一个与an数列累乘法有关的不等式,即可求出关于an的左右不等式,求和判断范围即可。

数列放缩也是浙江模考和高考中常见的题型了,毕竟浙江高考非常喜欢出与数列不等关系有关的压轴小题,曾经还以不动点的形式出现过,很值得研究。

设出点求出投影带入后所求式子为二元二次的最小值,解决此类问题方法很多,基础的可用主次元法,即分别将x,y看作未知数求两次最值,高级一些的可用拉格朗日乘数法,链接为不等式专题之二元条件最值中的拉格朗日乘数法,也可使用权方和不等式法,另外本题可用几何法求解,若将所求看作两个距离,其中一个是动点(x,y)到原点的距离的平方,另外一个是动点(x,y)到直线的距离的平方,利用不等式,转化为与两个距离和有关的最小值,很显然最小距离就是原点到直线的距离,这种方法很有意思。

由于填空题中出现了一个利用超几何分布求概率和期望的小题,此次大题中竟然没有相关的大题,数列题难度不大,第一问常规的根据Sn和an的递推公式求通项公式,第二问利用错位相减法求出Tn,整理后的不等式可当作关于n的一次函数不等式,若不等式恒大于等于0,则保证斜率为正且n=1时函数值大于等于0即可,当然斜率为零时恰也符合。

这个题目刚看到之后我都怀疑自己在规定时间内做不完,等式中的三段长度RN,PN,QN均为同一条直线上,且均以N为端点,N点恰好在x轴上,因此等式可直接转化为与R,P,Q三点纵坐标有关的等式,接下来表示出三个纵坐标即可。因为抛物线焦点在x轴上,AB直线还过x轴上一定点,因此设直线时把AB和l的方程设成x=my+n的形式会更简单,联立AB和l的方程可求出R点纵坐标,设出MA的方程与l联立后可求出P点纵坐标,后可直接写出Q点纵坐标,因为MA,MB的斜率形式类似,可设为k1,k2,先表示后带入整理,整理之后发现过程并不复杂,化简结果竟令人还有点小舒服,求最值需求一次最值,解一次不等式即可。

因为y1y2=-4,所以在化简k1,k2时将分母中的4用-y1y1替换下来计算会更简单,题目思路依旧很直观,但咋一看的计算量确实吓住很多人,实际上用时并不多,但如果一开始直线替换,那么这个题目很大几率是算不出来的。

关于最后一个导数题,浙江高考导数一向很奇怪,和全国1和新高考不是一个路子,所以非浙江省的人做起来会很不适应,就跟北京卷压轴大题喜欢考类似于数论的题目一样,做起来依旧不适应,不习惯,导数大题后期整理后专门给出。

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