如何分析2021年浙江高考数学中的导数压轴题?

今年对真题解析实在是提不起兴趣,加之试卷并没有官方版公布,网上流传的很多都是学生回忆版,所以对其他试卷的解读就先放一放,等过段时间有相对权威的纸质版开售之后再选择一些有意思的题目解读。

这是一篇“马后炮”式的解读,请某些有键盘如刀的侠客轻喷,今天的重点是这个所谓奇怪的题目是如何分析,是哪种常规题型的变式,解题逻辑是什么,并以此为鉴。在此之前我特意询问了几个浙江的同行对这个题目的看法,他们的回答是:一般般,般般,般…..

分析:第一问就不提了,函数先减后增,极小值点的表示形式相对复杂,在第三问中若a=e时,函数的单调性依旧是先减后增。

第二问可以算是一个双参数问题加零点个数问题,如果把题目改一下,若函数中不含参数b,且函数有两个零点,如何求a的取值范围?根据函数形式可知,若x0时,f(x)=0无解,所以函数有两个正零点,此时常规思路有两个,一是根据第一问判断出来的单调性,令极小值点大于零且极小值小于零,但此时需要根据零点存在定理证明出在极值点两侧各有一个零点,此时有可能用到放缩法证明零点存在,第二是将参数a或者只含有a的式子独立出来,即m(a)=g(x),此时根据g(x)的单调性和最值来判断a或者m(a)的范围即可。

回归到本题,加入参数b且知道参数b的范围,做法依旧是以上两种,只是若采用第一种,将极小值点带入整理后的式子并不容易,因此现有的答案上给的是第二种思路,若将a,b同时独立到等式左侧,即m(a,b)=g(x)的形式,通过g(x)的单调性和极值即可求出m(a,b)的范围,再分离a,b后将b看作自变量即可,现存网络上很容易想到的答案如下:

因为a是底数,将a,b独立出去的方法并不容易想到,导数中常见且常用的指数函数是以e为底数的指数,将a^x变形成以e为底的指数,通过换元将指数部分的x用a和新变量t替换,即可表示为m(a,b)=g(t)的形式,本题目的难点在于换元,不过多揣摩一下是可以想到的,因此第二问题源为:常见的零点求参。

第三问是很奇葩的一问,若只从解题逻辑上分析,函数中只存在已知了范围的参数b,单调性和第一问一致,极小值点为x=lnb4,所证的式子中有x1,x2,b,证明不等式的总体思路是消参,消变量,x1和x2并没有明确可直接转化的关系,但参数b分别和x1,x2有可转化的等式关系,因此试着找到右侧x1和b的等式或不等关系,由于x2和b有关,因此最理想的解题目标是将不等式转化为证明x2和b得不等式,首先根据f(x)的单调性确定一下x1,x2的大致范围,这也是常规双零点问题中常见的步骤:

此时根据图像,x2为零点,只需证明f(lnb+e/b)0即可,而f(lnb+e/b)是一个只含有b的式子,利用所给b的范围很容易证明出f(lnb+e/b)0,因此第三问得证。

第三问的证明方法不止上述一种,但上述证法是最简单直接的方法,那么第三问到底考的是什么?其实并没有明确的题源,零点取点法,放缩法等等只是杂糅其中,题目更像是一个多元含参不等式证明的常用逻辑题目,算是一个真正的基于基础却又高于基础的题目,对学生数学功底的要求挺高,但在限时高考中真正能完整解出来的人并不会很多,本题第三问其他的解法如下:

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